Question

4．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若E为AB的中点，则A₁E与CD₁所成角的余弦值（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
• B． $\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$
• C． $\frac{1}{10}$
• D． $\frac{3}{10}$

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A₁E与CD₁所成角的余弦值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为2，
则A₁（2，0，2），E（2，1，0），C（0，2，0），D₁（0，0，2），
$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（0，1，-2），$\overrightarrow{C{D}_{1}}$=（0，-2，2），
设A₁E与CD₁所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}E}•\overrightarrow{C{D}_{1}}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}E}|•|\overrightarrow{C{D}_{1}}|}$=$\frac{6}{\sqrt{5}•\sqrt{8}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
∴A₁E与CD₁所成角的余弦值为$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
故选：B．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．