Question

13．已知复数z=（m-1）+（m²+2m-3）i，m≥0，
（Ⅰ）若z是纯虚数，求m的值；
（Ⅱ）若z+$\overline{z}$=2，求z；
（ III）在复平面中，设复数z对应的点为P，当m变化时，求动点P的轨迹的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若z是纯虚数，则实部等于0且虚部不等于0，求解可得m的值；
（Ⅱ）由z+$\overline{z}$=2，可求出m的值，即可得到复数z；
（Ⅲ）根据题意，设点P的坐标为（x，y），则$\left\{\begin{array}{l}{x=m-1}\\{y={m}^{2}+2m-3}\end{array}\right.$，消去m得点P的轨迹方程．

解答 解：（Ⅰ）若z是纯虚数，则$\left\{\begin{array}{l}{m-1=0}\\{{m}^{2}+2m-3≠0}\end{array}\right.$，解得m=1；
（Ⅱ）z+$\overline{z}$=2（m-1）=2，
∴m=2，
∴z=1+5i；  
（Ⅲ）根据题意，设点P的坐标为（x，y），则$\left\{\begin{array}{l}{x=m-1}\\{y={m}^{2}+2m-3}\end{array}\right.$，
消去m得点P的轨迹方程为y=x²+4x．
又∵m≥0，∴x≥-1．
点P的轨迹方程为y=x²+4x（x≥-1）．

点评 本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数的基本概念，是基础题．