Question

15．锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别别为a，b，c，且2cosC（acosB+bcosA）=c．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c=2，求△ABC的周长取值范围？

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理结合两角和的正弦函数化简已知条件，然后求角C的值；
（Ⅱ）利用余弦定理以及基本不等式求出a+b的范围，然后求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵2cosC（acosB+bcosA）=c
由正弦定理得：2cosC（sinA•cosB+sinB•cosA）=sinC，
∴2cosC•sin（A+B）=sinC．
∵A+B+C=π，A、B、C∈（0，π），
∴sin（A+B）=sinC＞0
∴2cosC=1，cosC=$\frac{1}{2}$；
∵C∈（0，π）
∴C=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）由余弦定理得：c²=a²+b²-2ab•cosC=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab
≥$（a+b）^{2}-3\frac{（a+b）^{2}}{4}=\frac{（a+b）^{2}}{4}$，
则a+b≤4．
又a+b＞c=2，2＜a+b≤4，4＜a+b+c≤6．
∴△ABC的周长的取值范围为（4，6]．

点评 本题考查余弦定理以及正弦定理，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．