Question

14．已知函数f（x）是定义在R上的单调函数，对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．若动点P（x，y）满足等式f（x²+2x+2）+f（2y²+8y+3）=0，则x+y的最大值为$\sqrt{6}$-3．

Answer 1

分析 判断f（x）的奇偶性，得出x²+2x+2+2y²+8y+3=0，故而P点在某一椭圆上，利用参数法求出x+y的最大值．

解答 解：令x=y=0得f（0）=2f（0），即f（0）=0，
令y=-x得f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）是奇函数，
∵f（x²+2x+2）+f（2y²+8y+3）=0，
∴x²+2x+2+2y²+8y+3=0，即$\frac{（x+1）^{2}}{4}+\frac{（y+2）^{2}}{2}$=1，
设x=2cosα-1，y=$\sqrt{2}$sinα-2，
则x+y=2cosα+$\sqrt{2}$sinα-3=$\sqrt{6}$sin（α+φ）-3，
∴当sin（α+φ）=1时，x+y取得最大值$\sqrt{6}$-3．
故答案为：$\sqrt{6}$-3．

点评 本题考查了奇函数的判断与性质，函数最值的计算，属于中档题．