Question

14．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右顶点为A（2，0）．
（1）．求椭圆C的方程；
（2）．过点P（0，2）的直线l交椭圆于M、N两点，以线段M、N为直径的圆恰好过原点，求出直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆定义列方程组求出a，b的值；
（2）设直线l方程y=kx+2，联立方程组，根据根与系数的关系得出M，N的坐标关系，由OM⊥ON列方程解出k即可．

解答 解：（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{a=2}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{2}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由题意直线l的斜率存在，设直线l方程为y=kx+2（k≠0），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消元得（1+2k²）x²+8kx+4=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{8k}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4}{1+2{k}^{2}}$，
∵以MN为直径的圆恰好过原点，∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=0，
∴x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0，
即（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0，
∴$\frac{4（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{16{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+4=0，解得k=$±\sqrt{2}$．
∴直线l的方程为y=$\sqrt{2}$x+2或y=-$\sqrt{2}$x+2．

点评 本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．