Question

3．已知{b_n}为单调递增的等差数列，b₃+b₈=26，b₅b₆=165，设数列{a_n}满足2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2ⁿa_n=2${\;}^{{b}_{n}}$
（1）求数列{b_n}的通项；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设{b_n}的公差为d（d＞0），运用等差数列的性质，解方程可得b₅=11，b₆=15，求得d=4，再由等差数列的通项公式即可得到所求；
（2）讨论n=1，可得a₁；n＞1时，将n换为n-1，相减可得a_n，再由等比数列的求和公式，化简即可得到所求．

解答 解：（1）设{b_n}的公差为d（d＞0），
由b₃+b₈=b₅+b₆=26，又b₅b₆=165，
解得b₅=11，b₆=15，（b₅=16，b₆=11舍去），
可得d=b₆-b₅=4，
则b_n=b₅+（n-5）d=11+4（n-5）=4n-9；
（2）由2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2ⁿa_n=2^4n-9，
当n≥2，2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2^n-1a_n-1=2^4n-13，
可得2ⁿa_n=2^4n-9-2^4n-13=15•2^4n-13，
当n≥2时，a_n=15•2^3n-13，
又n=1时 2a₁=2^-5，得a₁=2^-6，
即有a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-6}，n=1}\\{15•{2}^{3n-13}，n≥2}\end{array}\right.$，
则前n项和S_n=2^-6+$\frac{15•{2}^{-7}（1-{8}^{n-1}）}{1-8}$
=$\frac{15•{8}^{n-1}-1}{896}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式和性质的运用，考查等比数列的求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．