Question

19．已知正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₂=6，S₄=30，n∈N^*，数列{b_n}满足b_n•b_n+1=a_n，b₁=1
（I）求a_n，b_n；
（Ⅱ）求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （I）设正项等比数列{a_n}的公比为q（q＞0），由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比均为2，可得a_n=a₁q^n-1=2ⁿ；再由n换为n+1，可得数列{b_n}中奇数项，偶数项均为公比为2的等比数列，运用等比数列的通项公式，即可得到所求b_n；
（Ⅱ）讨论n为奇数和偶数，运用分组求和和等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（I）设正项等比数列{a_n}的公比为q（q＞0），
由题意可得a₁+a₁q=6，a₁+a₁q+a₁q²+a₁q³=30，
解得a₁=q=2（负的舍去），
可得a_n=a₁q^n-1=2ⁿ；
由b_n•b_n+1=a_n=2ⁿ，b₁=1，
可得b₂=2，
即有b_n+1•b_n+2=a_n=2ⁿ⁺¹，
可得$\frac{{b}_{n+2}}{{b}_{n}}$=2，
可得数列{b_n}中奇数项，偶数项均为公比为2的等比数列，
即有b_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{\frac{n-1}{2}}，n为奇数}\\{{2}^{\frac{n}{2}}，n为偶数}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）当n为偶数时，前n项和为T_n=（1+2+..+${2}^{\frac{n-2}{2}}$）+（2+4+..+${2}^{\frac{n}{2}}$）
=$\frac{1-{2}^{\frac{n}{2}}}{1-2}$+$\frac{2（1-{2}^{\frac{n}{2}）}}{1-2}$=3•（$\sqrt{2}$）ⁿ-3；
当n为奇数时，前n项和为T_n=T_n-1+${2}^{\frac{n-1}{2}}$
=3•（$\sqrt{2}$）^n-1-3+${2}^{\frac{n-1}{2}}$=（$\sqrt{2}$）ⁿ⁺³-3．
综上可得，T_n=$\left\{\begin{array}{l}{（\sqrt{2}）^{n+3}-3，n为奇数}\\{3•（\sqrt{2}）^{n}-3，n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．