Question

13．设x₀为函数f（x）=sinπx的零点，且满足|x₀|+f（x₀+$\frac{1}{2}$）＜33，则这样的零点有65个．

Answer 1

分析 根据正弦函数的图象与性质，得出x₀的值是什么，再化简f（x₀+$\frac{1}{2}$），即可求出满足|x₀|+f（x₀+$\frac{1}{2}$）＜33的零点个数．

解答 解：∵x₀为函数f（x）=sinπx的零点，
∴x₀=k，k∈Z；
∴f（x₀+$\frac{1}{2}$）=sin（x₀+$\frac{1}{2}$）π=sin（kπ+$\frac{π}{2}$）=$\left\{\begin{array}{l}{1，k为偶数}\\{-1，k为奇数}\end{array}\right.$；
∴满足|x₀|+f（x₀+$\frac{1}{2}$）＜33的零点是：
0，±1，±2，±3，…，±31和±33共有65个．
故答案为：65个．

点评 本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．