Question

19．函数y=$\frac{{x}^{2}+1}{x-1}$（x＞1）的最小值是2+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出y=（x-1）+$\frac{2}{x-1}$+2，根据基本不等式的性质求出y的最小值即可．

解答 解：∵x＞1，
∴y=$\frac{{x}^{2}+1}{x-1}$
=$\frac{{（x-1）}^{2}+2（x-1）+2}{x-1}$
=（x-1）+$\frac{2}{x-1}$+2
≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{2}{x-1}}$+2
=2+2$\sqrt{2}$，
当且仅当x-1=$\frac{2}{x-1}$即x=1+$\sqrt{2}$时“=”成立，
故答案为：2+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质，注意性质应用的条件，是一道基础题．