题目内容
10．已知命题p：函数f（x）=|4x-a|-ax（a＞0）存在最小值；命题q：关于x的方程2x2-（2a-2）x+3a-7=0有实数根．则使“命题p∨?q为真，p∧?q为假”的一个必要不充分的条件是（ ）| A． | 3≤a＜5 | B． | 0＜a＜4 | C． | 4＜a＜5或0≤a≤3 | D． | 3＜a＜5或0≤a＜3 |
分析 分别求出p，q为真时的a的范围，求出则p假q真时的a的范围，结合集合的包含关系判断即可．
解答 解：由条件得：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（4-a）x-a，x≥\frac{a}{4}}\\{-（4+a）x+a，x＜\frac{a}{4}}\end{array}\right.$，
∵a＞0，
∴-（4+a）＜0，f（x）在（-∞，$\frac{a}{4}$）上是减函数．
如果函数f（x）存在最小值，
则f（x）在[a，+∞）上是增函数或常数．
∴4-a≥0，得a≤4，
又a＞0，∴0＜a≤4，
故p为真时：0＜a≤4；
命题q：关于x的方程2x2-（2a-2）x+3a-7=0有实数根，
∴△=（2a-2）2-8（3a-7）≥0，化为：a2-8a+15≥0，
解得a≤3或a≥5；
命题p∨?q为真，p∧?q为假，则p假q真，
故$\left\{\begin{array}{l}{a＞4}\\{3＜a＜5}\end{array}\right.$，解得：4＜a＜5；
故4＜a＜5的一个必要不充分的条件是4＜a＜5或0≤a≤3，
故选：C．
点评 本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系以及二次函数的性质和函数的最值问题，是一道中档题．
练习册系列答案
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20．
已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1，（a＞b＞0），F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，如图过F2且斜率为1的直线与椭圆相交于P，Q两点，且$\frac{{|P{F_2}|}}{{|Q{F_2}|}}$=2，则椭圆的离心率e=（ ）
已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1，（a＞b＞0），F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，如图过F2且斜率为1的直线与椭圆相交于P，Q两点，且$\frac{{|P{F_2}|}}{{|Q{F_2}|}}$=2，则椭圆的离心率e=（ ）| A． | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | B． | $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ |
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠BAC=90°，F为棱AA1上的动点，A1A=4，AB=AC=2．
2．已知F1、F2是椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦点，P是椭圆上一点，且PF2⊥F1F2，∠PF1F2=$\frac{π}{6}$．则椭圆的离心率是（ ）
| A． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | B． | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{\sqrt{5}}{5}$ |