Question

9．若函数f（x）=-x+b的图象与函数g₁（x）=x²（0≤x≤1）的图象相交于点A，与函数g₂（x）=$\sqrt{x}$（0≤x≤1）的图象相交于点B，求|AB|的最大值．

Answer 1

分析 函数g₁（x）=x²（0≤x≤1）的图象与函数g₂（x）=$\sqrt{x}$（0≤x≤1）的图象关于直线y=x对称，故当函数f（x）=-x+b的图象过原点与（1，1）点的中点时，|AB|取最大值，进而得到答案．

解答 解：函数g₁（x）=x²（0≤x≤1）的图象与函数g₂（x）=$\sqrt{x}$（0≤x≤1）的图象关于直线y=x对称，
故当函数f（x）=-x+b的图象过原点与（1，1）点的中点时，|AB|取最大值，
此时b=1，
由$\left\{\begin{array}{l}y=-x+1\\ y={x}^{2}\end{array}\right.$得：A点坐标为：（$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}y=-x+1\\ y=\sqrt{x}\end{array}\right.$得：B点坐标为：（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$），
此时|AB|=$\sqrt{10}-2\sqrt{2}$，
故|AB|的最大值为$\sqrt{10}-2\sqrt{2}$．

点评 本题考查的知识点是函数的图象，函数的最值及其几何意义，难度中档．