Question

19．已知动点P到点A（2，-1）、B（1，0）的距离之比为$\sqrt{2}$：1．
（1）求点P的轨迹方程C；
（2）过点Q（1，2）作直线l与曲线C相交与M、N两点，且|MN|=2$\sqrt{2}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）直接设出点P的坐标，列出关系式，化简即可．即用直接法求轨迹方程．
（2）圆心到直线的距离为$\sqrt{4-2}$=$\sqrt{2}$，设直线方程为y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，利用点到直线的距离公式建立方程，即可求出直线l的方程．

解答 解：（1）设P（x，y），则
∵动点P到点A（2，-1）、B（1，0）的距离之比为$\sqrt{2}$：1，
∴$\frac{\sqrt{（x-2）^{2}+（y+1）^{2}}}{\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
化简可得x²+（y-1）²=4；
（2）∵|MN|=2$\sqrt{2}$，
∴圆心到直线的距离为$\sqrt{4-2}$=$\sqrt{2}$，
设直线方程为y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，
∴$\frac{|1-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
∴k=-1±$\sqrt{2}$，
故直线l的方程为（-1+$\sqrt{2}$）x-y+3-$\sqrt{2}$=0或（-1-$\sqrt{2}$）x-y+3+$\sqrt{2}$=0．

点评 本题考查直接法求轨迹方程和直线与圆位置关系的运用，考查直线方程，属于中档题．