Question

9．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2，b=$\sqrt{2}$c，△ABC面积的最大值是2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用余弦定理计算cosA，得出sinA，代入面积公式得出S_△ABC关于c的函数，利用基本不等式得出面积的最大值．

解答 解：由余弦定理得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{3{c}^{2}-4}{2\sqrt{2}{c}^{2}}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{-{c}^{4}+24{c}^{2}-16}}{2\sqrt{2}{c}^{2}}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{\sqrt{-{c}^{4}+24{c}^{2}-16}}{4}$．
∵-c⁴+24c²-16=-（c²-12）²+128≤128，
∴S_△ABC≤$\frac{\sqrt{128}}{4}$=2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、二次函数的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．