Question

如图所示，某传动装置由两个陀螺T₁，T₂组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的

1

3

，且T₁，T₂的轴相互垂直，它们相接触的直线与T₂的轴所成角θ=arctan

2

3

．若陀螺T₂中圆锥的底面半径为r（r＞0）．
（1）求陀螺T₂的体积；
（2）当陀螺T₂转动一圈时，陀螺T₁中圆锥底面圆周上一点P转动到点P₁，求P与P₁之间的距离．

Answer 1

考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）设陀螺T₂圆锥的高为h，可得h=

3

2

r，进而可得陀螺T₂圆柱的底面半径和高为

r

3

，进而求出陀螺T₂的体积；
（2）设陀螺T₁圆锥底面圆心为O，可得

PP1

=2πr，进而利用弧长公式，求出圆心角，进而可得P与P₁之间的距离．

解答： 解：（1）设陀螺T₂圆锥的高为h，
则

r

h

=

2

3

，
即h=

3

2

r’
得陀螺T₂圆柱的底面半径和高为

r

3

，
V柱=π(

r

3

)2

r

3

=

1

27

πr3
V椎=

1

3

πr2•

3

2

r=

1

2

πr3
VT2=V柱+V椎=

29

54

πr3

（2）设陀螺T₁圆锥底面圆心为O，

则

PP1

=2πr，
得∠POP1=

PP1

OP

=

2πr

3 2 r

=

4π

3

在△POP₁中，PP1=

3

OP=

3 3

2

r

点评：本题考查的知识点是旋转体的体积公式，弧长公式，是三角函数与空间几何的综合应用，难度中档．