题目内容

已知凼数f（x）=2sin（π+x）sin（x+
π
2
）+2
3
cos2x
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若f（A）=0，b=4，c=3，点D为BC上一点，且对于任意实数t恒有|
AB
+t
BC
|≥|
AD
|成立，求AD的最大值．
考点：正弦函数的单调性,三角函数的最值
专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形,平面向量及应用
分析：（1）运用诱导公式和二倍角公式以及两角差的正弦公式，化简f（x），再由正弦函数的减区间，解不等式即可得到所求增区间；
（2）由f（A）=0，可得A，由余弦定理可得a，再由向量的平方即为模的平方，结合恒成立即有判别式小于等于0，解关于t的不等式，即可得到最大值．
解答： 解：（1）f（x）=2sin（π+x）sin（x+
π
2
）+2
3
cos2x
即为f（x）=-2sinxcosx+2
3
cos2x=-sin2x+
3
（1+cos2x）
=
3
-2（
1
2
sin2x-
3
2
cos2x）=
3
-2sin（2x-
π
3
），
令2kπ+
π
2
≤2x-
π
3
≤2kπ+
3π
2
，
解得kπ+
5π
12
≤x≤kπ+
11π
12
，k∈Z，
即有f（x）的单调增区间为[kπ+
5π
12
，kπ+
11π
12
]，k∈Z；
（2）若f（A）=0，即为
3
-2sin（2A-
π
3
）=0，
即sin（2A-
π
3
）=
3
2
，由于A为锐角，则2A-
π
3
=
π
3
，即有A=
π
3
，
由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bccosA=16+9-2×4×3×
1
2

=13，即有a=
13
．
cosB=
c2+a2-b2
2ca
=
9+13-16
2×3×
13
=
1
13
，
对于任意实数t恒有|
AB
+t
BC
|≥|
AD
|成立，
即有（
AB
+t
BC
）2≥|
AD
|2，
即为c2+t2a2+2t
AB
•
BC
≥|
AD
|2，
即为9+13t2-2t×3×
13
×
1
13
≥|
AD
|2，
即有13t2-6t+9-|
AD
|2≥0，
即有判别式△≤0，
即36-4×13×（9-|
AD
|2）≤0，
解得|
AD
|≤
6
39
13
．
即有AD的最大值为
6
39
13
．
点评：本题考查诱导公式、二倍角公式以及两角差的正弦公式，考查正弦函数的单调区间，考查余弦定理以及向量的平方即为模的平方，以及二次不等式恒成立的解法，属于中档题和易错题．
练习册系列答案
相关题目
某游戏分四个阶段，只有上一阶段获胜，才能继续参加下一阶段的比赛，否则就被淘汰，选手每闯过一个阶段，个人记10分，否则记0分．甲、乙两个选手参加了此游戏，已知甲每个阶段获胜的概率为
1
2
，乙每个阶段获胜的概率为
3
4
．
（Ⅰ）求甲、乙两人最后积分之和为20的概率；
（Ⅱ）设甲的最后积分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
作出函数f（x）=|ln（2-x）|图象．
已知实数x，y满足
2x-y-2≤0
x-2y+2≥0
x+y+2≥0
，则z=-3x+2y的最大值为（　　）
A、-4B、2C、4D、6
在△ABC中，已知a4+b4+c4=2c2（a2+b2），则角C=
 
．
设函数f（x）=|x+a|+|x-b|，其中a，b为常数．
（1）当a=b＞0时，解关于x的不等式f（x）≥4a；
（2）若a＞0，b＞0，且
2
a
+
2
b
=
ab
，证明：f（x）≥4．
在等比数列{an}中，am=10k，ak=10m，则am+k=
 
．
已知函数f（x）=sin（ωx-
π
6
）（ω＞0）在（0，
4π
3
]上单调递增，在（
4π
3
，2π]上单调递减，
（1）求ω的值；
（2）当x∈[π，2π]时，不等式m-3≤f（x）≤m+3恒成立，求实数m的取值范围．
将函数y=sin（2x+
π
6
）图象向右平移m（m＞0）个单位，得到函数y=f（x）的图象，若y=f（x）在区间[-
π
6
，
π
3
]上单调递增，则m的最小值为（　　）
A、
π
3
B、
π
4
C、
π
6
D、
π
12

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