Question

某游戏分四个阶段，只有上一阶段获胜，才能继续参加下一阶段的比赛，否则就被淘汰，选手每闯过一个阶段，个人记10分，否则记0分．甲、乙两个选手参加了此游戏，已知甲每个阶段获胜的概率为

1

2

，乙每个阶段获胜的概率为

3

4

．
（Ⅰ）求甲、乙两人最后积分之和为20的概率；
（Ⅱ）设甲的最后积分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）设“甲、乙两人最后积分之和为20分”为事件A，“甲得0分、乙得20分”为事件B，“甲得10分、乙得10分”为事件C，“甲得20分、乙得0分”为事件D，由此能求出甲、乙两人最后积分之和为20的概率．（Ⅱ）由已知得ξ的取值可能为：0，10，20，30，40，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）设“甲、乙两人最后积分之和为20分”为事件A，
“甲得0分、乙得20分”为事件B，“甲得10分、乙得10分”为事件C，
“甲得20分、乙得0分”为事件D，
由已知得P（B）=（1-

1

2

）（

3

4

）²（1-

3

4

）=

9

128

，
P（C）=

1

2

×(1-

1

2

)×

3

4

×(1-

3

4

)=

3

64

，
P（D）=（

1

2

）²（1-

1

2

）（1-

3

4

）=

1

32

，
∴甲、乙两人最后积分之和为20的概率：
P（A）=P（B+C+D）=P（B）+P（C）+P（D）
=

9

128

+

3

64

+

1

32

=

19

128

．（6分）
（Ⅱ）由已知得ξ的取值可能为：0，10，20，30，40，
P（ξ=0）=1-

1

2

=

1

2

，
P（ξ=10）=

1

2

×(1-

1

2

)=

1

4

，
P（ξ=20）=(

1

2

)2(1-

1

2

)=

1

8

，
P（ξ=30）=(

1

2

)3(1-

1

2

)=

1

16

，
P（ξ=40）=(

1

2

)4=

1

16

，
所以ξ的分布列可为

ξ	0	10	20	30	40
P	1 2	1 4	1 8	1 16	1 16

数学期望Eξ=0×

1

2

+10×

1

4

+20×

1

8

+30×

1

16

+40×

1

16

=

75

8

．（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．