Question

已知函数f（x）=sin（ωx-

π

6

）（ω＞0）在（0，

4π

3

]上单调递增，在（

4π

3

，2π]上单调递减，
（1）求ω的值；
（2）当x∈[π，2π]时，不等式m-3≤f（x）≤m+3恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）由x=

4π

3

时f（x）取得最大值1，从而有8ω=12K+4，k∈z，又由题意

T

2

≥

4π

3

且

T

2

≥

2π

3

，可得0＜ω≤

3

4

，从而可求ω的值；
（2）令t=

1

2

x-

π

6

，可求f（x）的值域为[

1

2

，1]，由题意可得

m-3≤ 1 2 1≤m+3

，从而解得实数m的取值范围．

解答： 解：（1）由已知条件知，x=

4π

3

时f（x）取得最大值1，从而有ω×

4π

3

-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，即8ω=12K+4，k∈z…（3分）
又由题意可得该函数的最小正周期T满足：

T

2

≥

4π

3

且

T

2

≥

2π

3

，
于是有T≥

8π

3

，0＜ω≤

3

4

，满足0＜12K+4≤6的正整数k的值为0，
于是ω=

1

2

…（6分）
（2）令t=

1

2

x-

π

6

，因为x∈[π，2π]，得t∈[

π

3

，

5π

6

]，
由y=sint，t∈[

π

3

，

5π

6

]得y∈[

1

2

，1]，即f（x）的值域为[

1

2

，1]，
由于x∈[π，2π]时，不等式m-3≤f（x）≤m+3，恒成立，
故有

m-3≤ 1 2 1≤m+3

，
解得-2≤m≤

7

2

，
即m的取值范围是[-2，

7

2

]…（12分）

点评：本题主要考查了正弦函数的周期性和复合函数的值域，考查了不等式的解法，属于中档题．