Question

设函数f（x）=|x+a|+|x-b|，其中a，b为常数．
（1）当a=b＞0时，解关于x的不等式f（x）≥4a；
（2）若a＞0，b＞0，且

2

a

+

2

b

=

ab

，证明：f（x）≥4．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,基本不等式

专题：选作题,不等式

分析：（1）当a=b＞0时，不等式f（x）≥4a等价于|x+a|+|x-a|≥4a，分类讨论，可解关于x的不等式f（x）≥4a；
（2）利用基本不等式证明ab≥4，再利用f（x）=|x+a|+|x-b|≥|（x+a）-（x-b）|=a+b，可得结论．

解答： （1）解：当a=b＞0时，不等式f（x）≥4a等价于|x+a|+|x-a|≥4a，
x≤-a，不等式f（x）≥4a等价于-（x+a）-（x-a）≥4a，∴x≤-2a；
-a＜x＜a，不等式f（x）≥4a等价于（x+a）-（x-a）≥4a，∴无解；
x≥a，不等式f（x）≥4a等价于（x+a）+（x-a）≥4a，∴x≥2a；
综上，不等式的解集为{x|x≤-2a或x≥2a}；
（2）证明：∵a＞0，b＞0，且

2

a

+

2

b

=

ab

，
∴

ab

≥2

2 a • 2 b

，
∴ab≥4，
∴f（x）=|x+a|+|x-b|≥|（x+a）-（x-b）|=a+b≥2

ab

≥4（当且仅当a=b时取等号）．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．