Question

10．已知f（1-x）=1-f（x），且a_n=f（0）+f（${\frac{1}{n}}$）+f（${\frac{2}{n}}$）+…+f（${\frac{n-1}{n}}$）+f（1），则{${\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right.$}前100项之和为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{99}{50}$
• D． $\frac{100}{51}$

Answer 1

分析 利用f（1-x）=1-f（x）和a_n=f（0）+f（${\frac{1}{n}}$）+f（${\frac{2}{n}}$）+…+f（${\frac{n-1}{n}}$）+f（1），利用倒序相加，求出a_n，拆项法即可求{${\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right.$}前100项之和．

解答 解：由题意：a_n=f（0）+f（${\frac{1}{n}}$）+f（${\frac{2}{n}}$）+…+f（${\frac{n-1}{n}}$）+f（1），…①；
∴a_n=f（1）+f（${\frac{n-1}{n}}$）+…+f（${\frac{2}{n}}$）+f（${\frac{1}{n}}$）+f（0），…②；
f（1-x）=1-f（x），
∴f（x）+f（1-x）=1，
则f（0）+f（1）=1，
f（${\frac{1}{n}}$）+f（${\frac{n-1}{n}}$）=1
…
…
同理：①+②化简可得：2a_n=n+1
∴${a}_{n}=\frac{n+1}{2}$
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$4（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
∴则$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$前100项之和为S_n=4[（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$）…+（$\frac{1}{100}$-$\frac{1}{101}$）+（$\frac{1}{101}-\frac{1}{102}$）=$\frac{100}{51}$．
故选D．

点评 本题考查了抽象函数，数列求和的其他方法（倒序相加求通项）和拆项法求数列求和．属于中档题．