Question

设抛物线C₁：y=x²+h（h∈R）的焦点为F，过F点的直线L交抛物线与A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C₁的切线交于Q点．求：
（1）若Q点在直线y=-1上，求抛物线C₁的方程
（2）若Q点在圆C₂：x²+y²=1上，求△ABQ面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）令A（x1，x12+h），B（x2，x22+h），由已知求出切线AQ的方程为y=2x₁x-x₁²+h，切线BQ的方程为：y=2x₂x-x₂²+h，从而得到Q（

x1+x2

2

，x₁x₂+h），令直线L为：y=kx+h+

1

4

，代入C₁：y=x²+h，得：x2-kx-

1

4

=0，由韦达定理，得Q（

k

2

，h-

1

4

），由此能求出抛物线C₁的方程．
（2）过Q作y轴平行线交AB于M点，则S_△ABQ=

1

2

|QM||x1-x2|=

1

4

(

k2+1

)3，由Q（

k

2

，h-

1

4

）点在圆C₂：x²+y²=1上，得k2=4-4(h-

1

4

)2∈[0，4]，由此能求出△ABQ面积的最大值．

解答： 解：（1）令A（x1，x12+h），B（x2，x22+h），
设切线AQ的方程为y-(x12+h)=k(x-x1)，
代入y=x²+h，得x2-kx+kx1-x12=0，
令△=k2-4(kx1-x12)=0，得k=2x₁，
∴抛物线C₁：y=x²+h在点A处的切线的斜率为k=2x₁，
∴切线AQ的方程为：y-（x12+h）=2x₁（x-x₁），即y=2x₁x-x₁²+h，①
同理，得切线BQ的方程为：y=2x₂x-x₂²+h，②
联立①②，得Q（

x1+x2

2

，x₁x₂+h），
焦点F（0，h+

1

4

），令直线L为：y=kx+h+

1

4

，代入C₁：y=x²+h，
得：x2-kx-

1

4

=0，由韦达定理，得x1+x2=k，x1x2=-

1

4

，
∴Q（

k

2

，h-

1

4

），
∵Q（

k

2

，h-

1

4

）点在直线y=-1上，∴

k 2 =0 h- 1 4 =-1

，解得k=0，h=-

3

4

，
∴抛物线C₁的方程为y=x2-

3

4

．
（2）过Q作y轴平行线交AB于M点，则S_△ABQ=

1

2

|QM||x1-x2|，
M点为（

k

2

，

k2

2

+h+

1

4

），|QM|=

k2+1

2

，
|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

k2+1

，
∴S_△ABQ=

1

2

|QM|•|x1-x2|=

1

4

(

k2+1

)3，
∵Q（

k

2

，h-

1

4

）点在圆C₂：x²+y²=1上，
∴

k2

4

+(h-

1

4

)2=1，
∴k2=4-4(h-

1

4

)2∈[0，4]，
∴△ABQ面积的最大值（S_△ABQ）_max=

1

4

(

4+1

)3=

5

4

5

．

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式的合理运用．