Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=

1

3n+1

-

1

3n+1-1

，求证：a 1+a2+a3+…+an＜

1

3

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由a_n=

1

3n+1

-

1

3n+1-1

＜

1

3n

-

1

3n+1

，利用裂项法能证明a 1+a2+a3+…+an＜

1

3

．

解答： 解：∵a_n=

1

3n+1

-

1

3n+1-1

＜

1

3n

-

1

3n+1

，
∴a₁+a₂+a₃+…+a_n
＜

1

3

-

1

9

+

1

9

-

1

27

+…+

1

3n

-

1

3n+1

=

1

3

-

1

3n+1

＜

1

3

．
∴a 1+a2+a3+…+an＜

1

3

．

点评：本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意放缩法和裂项法的合理运用．