Question

给出下列结论：
①函数f（x）=lnx-

3

x

在区间（e，3）上有且只有一个零点；
②已知l是直线，α、β是两个不同的平面．若α⊥β，l?α，则l⊥β；
③已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．若m⊥α，m⊥n，则n∥α；
④在△ABC中，已知a=20，b=28，A=40°，在求边c的长时有两解．
其中所有正确结论的序号是：

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：利用导数判断函数f（x）=lnx-

3

x

的单调性，结合函数零点存在性定理判断①；
由空间中的点、线、面的位置关系判断②；利用正弦定理结合已知分析角B的可能情况，从而得到边c的解得情况判断④．

解答： 解：①由f（x）=lnx-

3

x

，得f′(x)=

1

x

+

3

x2

，当x∈（e，3）时f′（x）＞0，
∴f（x）在（e，3）上为单调增函数，又f(e)•f(3)=(lne-

3

e

)•(ln3-

3

3

)＜0，
∴函数f（x）=lnx-

3

x

在区间（e，3）上有且只有一个零点，①正确；
②由α⊥β，l?α，可得l?β或l∥β或l与β相交，②错误；
③m⊥α，m⊥n，可得n∥α或n?α，③错误；
④在△ABC中，已知a=20，b=28，A=40°，
则由正弦定理得：

20

sin40°

=

28

sinB

，即sinB=

7

5

sin40°，则B有一个锐角和一个钝角，
对应的边c的长有两解，命题④正确．
∴正确的命题是①④．
故答案为：①④．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数零点的判断方法，考查了正弦定理在解三角形中的应用，训练了学生的空间想象能力，是中档题．