Question

20．直线$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{4}{5}t\\ y=-1+\frac{3}{5}t\end{array}\right.$（t为参数）被曲线ρ=$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$）所截的弦长为（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{7}{10}$
• C． $\frac{7}{5}$
• D． $\frac{5}{7}$

Answer 1

分析 直线$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{4}{5}t\\ y=-1+\frac{3}{5}t\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t化为普通方程．曲线ρ=$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），利用ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得直角坐标方程．求出圆心到直线的距离，可得直线被曲线C所截的弦长．

解答 解：直线$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{4}{5}t\\ y=-1+\frac{3}{5}t\end{array}\right.$（t为参数），消去参数化为：3x-4y-7=0．
曲线ρ=$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$）即ρ²=ρcosθ-ρsinθ，化为直角坐标方程：x²+y²=x-y，
配方为：（x-$\frac{1}{2}$）²+（y+$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{2}$，可得圆心C（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），半径r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
圆心到直线的距离d=$\frac{|\frac{3}{2}+2-7|}{5}$=$\frac{7}{10}$，可得直线被曲线C所截的弦长为=2$\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{49}{100}}$=$\frac{1}{5}$．
故选：A．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．