Question

已知函数f（x）=

a1nx-x

x

在x=l处的切线与直线x-y+10=0平行．
（1）求a的值；
（2）若函数y=f（x）-m在区间[l，e²]上有两个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数的零点

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）先化简f（x）=

a1nx-x

x

=

alnx

x

-1，从而求导f′（x）=

a 1 x x-alnx

x2

=a

1-lnx

x2

；从而得到f′（1）=a=1；解得．
（2）由（1）知，f（x）=

lnx

x

-1，x∈[l，e²]，f′（x）=

1-lnx

x2

；列表说明取值范围，从而解得．

解答： 解：（1）∵f（x）=

a1nx-x

x

=

alnx

x

-1；
∴f′（x）=

a 1 x x-alnx

x2

=a

1-lnx

x2

；
∵函数f（x）在x=l处的切线与直线x-y+10=0平行，
∴f′（1）=a=1；
故a=1；

（2）由（1）知，f（x）=

lnx

x

-1，x∈[l，e²]，
f′（x）=

1-lnx

x2

；
列表如下，

x	1	（1，e）	e	（e，e2）	e2
f′（x）	1	+	0	-
f（x）	-1	↑	极大值 1 e -1	↓	2 e2 -1

则当函数y=f（x）-m在区间[l，e²]上有两个零点时，实数m的取值范围为
[

2

e2

-1，

1

e

-1）．

点评：本题考查了导数的综合应用及函数的零点的个数的判断与应用，属于中档题．