Question

如图已知四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，SA⊥底面ABCD，且SA=AD=DC=

1

2

AB=1，M是SB的中点．
（1）证明：平面SAD⊥平面SCD；
（2）求AC与SB所成角的余弦值；
（3）求二面角M-AC-B的平面角的正切值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,异面直线及其所成的角,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）利用面面垂直的性质，证明CD⊥平面SAD．
（2）AC中点O，SC中点E，AB中点F，BC中点G，∠EGF是AC、SB所成的角（或补角），△EGF中，使用余弦定理求∠EGF的大小．
（3）根据三垂线定理可得，∠MOF就是二面角M-AC-B的平面角，解直角三角形求此角的大小．

解答： 证明：（1）由已知可得：SA⊥CD，CD⊥AD∴CD⊥平面SAD，（2分）
而CD⊆SCD，∴平面SAD⊥平面SCD（3分）
（2）设AC中点O，SC中点E，AB中点F，
BC中点G，连接OE、OF、EF、EG、FG
EG∥SB，FG∥AC，∠EGF是AC、SB所成的角（或补角）（5分）
∴OE=

1

2

SA=

1

2

，OF=

1

2

CE=

2

2

，EF=

( 1 2 )2+( 2 2 )2

=

3

2

，
又∵FG=

1

2

AC=

2

2

，EG=

1

2

SB=

5

2

，
∴cos∠EGF=

EG2+FG2-EF2

2EG•FG

=

10

5

（7分）
∴AC与SB所成的角的余弦值为

10

5

（8分）
（3）连接MO，根据三垂线定理可得：MO⊥AC，MF⊥面ABCD，OF⊥AC
∴∠MOF就是二面角M-AC-B的平面角（10分）
tan∠MOF=

MF

OF

=

2

2

∴二面角M-AC-B的大的正切值是

2

2

．（12分）

点评：本题考查证明面面垂直的方法，求线线角即二面角的方法，关键是进行等价转化．