Question

已知圆C的方程x²+y²-2x+4y-m=0．
（1）若点A（m，-2）在圆C的内部，求m的取值范围；
（2）若当m=4时①设P（x，y）为圆C上的一个动点，求（x-4）²+（y-2）²的最值；②问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,点与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）根据圆C的标准方程可得m＞-5．再根据点A（m，-2）在圆C的内部，可得 （m-1）²+（-2+2）²＜5+m，由此求得m的范围．
（2）①（x-4）²+（y-2）²表示圆C上的点P（x，y）到点H（4，2）的距离的平方，求得|HC|=5，故（x-4）²+（y-2）²的最大值为HC加上半径后的平方，的最小值为HC减去半径后的平方．
②假设存在直线l满足题设条件，设l的方程为y=x+m，则AB中点N是两直线x-y+m=0与y+2=-（x-1）的交点，即N(-

m+1

2

，

m-1

2

)，以AB为直径的圆经过原点，求得|AN|=

9- (3+m)2 2

，|ON|=

(- m+1 2 )2+( m-1 2 )2

，由|AN|=|ON|，解得m的值，可得结论．

解答： 解：（1）圆C的方程即（x-1）²+（y+2）²=5+m，∴m＞-5．
再根据点A（m，-2）在圆C的内部，可得 （m-1）²+（-2+2）²＜5+m，求得-1＜m＜4．
（2）①当m=4时，圆C的方程即（x-1）²+（y+2）²=5+4=9，而（x-4）²+（y-2）²表示圆C上的点P（x，y）到点H（4，2）的距离的平方，
由于|HC|=

(4-1)2+(2+2)2

=5，故（x-4）²+（y-2）²的最大值为 （5+3）²=64，（x-4）²+（y-2）²的最小值为 （5-3）²=4．
②假设存在直线l满足题设条件，设l的方程为y=x+m，圆C化为（x-1）²+（y+2）²=9，圆心C（1，-2），
则AB中点N是两直线x-y+m=0与y+2=-（x-1）的交点，即N(-

m+1

2

，

m-1

2

)，以AB为直径的圆经过原点，
∴|AN|=|ON|，又CN⊥AB，|CN|=

|1+2+m|

2

，∴|AN|=

9- (3+m)2 2

．
又|ON|=

(- m+1 2 )2+( m-1 2 )2

，由|AN|=|ON|，解得m=-4或m=1．
∴存在直线l，其方程为y=x-4或y=x+1．

点评：本题主要考查点与圆的位置关系的判定，两点间的距离公式的应用，直线与圆相交的性质，属于基础题．