Question

已知f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

-m²
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，f（x）的最小值是-4，求此时函数f（x）的最大值，并求出相应的x的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由周期公式可得；（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

解不等式可得单调递增区间；（3）由x的范围可得sin（2x+

π

6

）的范围，表示最小值，可得m²=4，代入解析式可得函数的最大值及相应的x的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

-m²，
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）；
（3）当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）的最小值是为-

1

2

+

1

2

-m²=-4，解得m²=4
∴此时函数f（x）的最大值为1+

1

2

-m²=-

5

2

，
由2x+

π

6

=

π

2

可得x=

π

6

，故相应的x的值为

π

6

．

点评：本题考查三角函数的恒等变换，涉及三角函数的周期性和单调性以及最值，属基础题．