Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线

2

x+y+

3

=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知圆M：x²+y²=

2

3

的切线l与椭圆相交于A、B两点，求证：以AB为直径的圆过原点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件得

c a = 2 2 b= 3 2+1 =1 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设圆M：x²+y²=

2

3

的切线l为mx+ny=

2

3

，其中m²+n²=

2

3

，代入椭圆方程整理得（2m²+n²）x²-

8

3

mx+

8

9

-2n²=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y 2 ），利用韦达定理结合已知条件条件出x₁x₂+y₁y₂=0，由此证明以AB为直径的圆过原点．

解答： （Ⅰ）解：∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，
以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线

2

x+y+

3

=0相切，
∴

c a = 2 2 b= 3 2+1 =1 a2=b2+c2

，解得a=

2

，b=1，c=1．
∴椭圆C的方程

x2

2

+y2=1．①
（Ⅱ）证明：设圆M：x²+y²=

2

3

的切线l为mx+ny=

2

3

，其中m²+n²=

2

3

，②，
把l：mx+ny=

2

3

，即y=

2 3 -mx

n

，③代入①，得
n²x²+2（

2

3

-mx）²=2n²，
整理得（2m²+n²）x²-

8

3

mx+

8

9

-2n²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y 2 ），则x₁+x₂=

8 3 m

2m2+n2

，x₁x₂=

8 9 -2n2

2m2+n2

，
由③得y₁•y₂=

2 3 -mx1

n

•

2 3 -mx2

n

=

9 4 (2m2+n2)- 16 9 m2+( 8 9 -2n2)m2

n2(2m2+n2)

=

4 9 -2m2

2m2+n2

，
由②得，x₁x₂+y₁y₂=

4 3 -2m2-2n2

2m2+n2

=0，
∴以AB为直径的圆过原点．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查圆过原点的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．