Question

已知函数f(x)=sin2x+

3

sinxcosx-1
（1）求函数的最小正周期；
（2）当x∈[-

π

12

′

π

2

]时，求函数f（x）的值域；
（3）先将函数y=f（x）的图象向左平移

π

12

个单位得到函数y=F（x）的图象，再将y=F（x）的图象横坐标扩大到原来的2倍纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求证：直线2x-2y-1=0与y=g（x）的图象相切于(0，-

1

2

)．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：综合题,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角恒等变换可求得f（x）=sin（2x-

π

6

）-

1

2

，于是可求该函数的最小正周期；
（2））-

π

3

≤2x-

π

6

≤

5π

6

⇒-

3

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，利用正弦函数的单调性即可求得y∈[-

3 +1

2

，

1

2

]；
（3）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求得g（x）=sinx-

1

2

，易求g′（x）=cosx，从而可求g（x）在切点为（0，-

1

2

）处的切线方程．

解答： 解：（1）由已知可得：f（x）=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x-1
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-

1

2

=sin2xcos

π

6

-sin

π

6

cos2x-

1

2

=sin（2x-

π

6

）-

1

2

∴函数的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）∵-

π

3

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
∴-

3

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，
∴y∈[-

3 +1

2

，

1

2

]．
（3）将函数y=f（x）的图象向左平移

π

12

个单位得到函数F（x）=f（x+

π

12

）=sin2x-

1

2

，
再将y=F（x）的图象横坐标扩大到原来的2倍纵坐标不变，得到函数g（x）=sinx-

1

2

．
∵g′（x）=cosx，
∴切线的斜率k=g′（0）=cos0=1，而切点为（0，-

1

2

），
∴g（x）的切线方程为y-（-

1

2

）=x-0，即2x-2y-1=0，
∴直线2x-2y-1=0与y=g（x）的图象相切于（0，-

1

2

）．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换，考查正弦函数的周期性与单调性，突出考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换及导数的应用，属于难题．