Question

（Ⅰ）若a是从1，2，3，4四个数中任取的一个数，b是从1，2，3三个数中任取的一个数，求点P（a，b）在椭圆

x2

16

+

y2

9

=1内的概率．
（Ⅱ）若a是从区间（0，3]任取的一个实数，b是从区间（0，3]任取的一个实数，求直线y=x+1与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1有公共点的概率．

Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（I）写出所有的点P（a，b），找出在椭圆

x2

16

+

y2

9

=1内的点P（a，b），利用个数比求概率；
（II）本题是几何概型求概率，根据a是从区间（0，3]任取的一个实数，b是从区间（0，3]任取的一个实数，则点P（a，b）的区域为正方形；满足直线y=x+1与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1有公共点的点P（a，b）的区域B为正方形减去

1

4

圆，利用面积比求概率．

解答： 解：（Ⅰ）点P（a，b）的全部基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），
（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3）共12个，
设事件A“点P（a，b）在椭圆

x2

16

+

y2

9

=1内”的基本事件有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（3，1）共5个，
点P（a，b）在椭圆

x2

16

+

y2

9

=1内的概率为P（A）=

5

12

；
（Ⅱ）实验的全部结果构成的区域为Ω={(a，b)|

0＜a≤3 0＜b≤3

}如图正方形，
设事件B“直线y=x+1与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1有公共点”
则

y=x+1 x2 a2 + y2 b2 =1

⇒(b2+a2)x2+2a2x+a2(1-b2)=0
由△=4a⁴-4a²（b²+a²）（1-b²）≥0⇒a²+b²≥1
构成的区域为B={（a，b）|a²+b²≥1，（a，b）∈Ω}如图阴影部分，
区域B的面积为9-

π

4

，
所以直线y=x+1与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1有公共点的概率为
P（B）=

S区域B

S正方形

=

9- π 4

9

=1-

π

36

．

点评：本题考查了古典概型的概率计算，考查了几何概型的概率计算，解题的关键是求得符合条件的区域B的面积．