Question

已知偶函数f（x）满足f（x）-f（x+2）=0，且当x∈[0，1]时，f（x）=x•e^x，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-2k有且仅有3个零点，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的周期性,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x）-f（x+2）=0得f（x）=f（x+2），得到函数的周期是2，由g（x）=f（x）-kx-2k=0，得到f（x）=k（x+2），作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）-f（x+2）=0，
∴f（x）=f（x+2），
即函数的周期是2，
∵当x∈[0，1]时，f（x）=x•e^x，
∴根据增函数的性质可知，此时函数f（x）单调递增，且f（0）=0，f（1）=e，
∴当x∈[-1，0]时，f（x）=f（-x）=-x•e^-x，
由g（x）=f（x）-kx-2k=0，得到f（x）=k（x+2），
作出两个函数f（x）和g（x）=k（x+2）在[-1，3]的图象，
由图象可知当x=1时，f（1）=e，
当x=3时，f（3）=f（1）=e，即B（1，e），C（3，e），
当直线y=k（x+2）经过点B（1，e）时，此时两个函数有2个交点，此时e=3k，解得k=

e

3

，
直线y=k（x+2）经过点C（3，e）时，此时两个函数有4个交点，此时e=5k，解得k=

e

5

，
∴要想使函数g（x）=f（x）-kx-2k有且仅有3个零点，
则直线应该位于直线AB和AC之间，
∴此时直线的斜率k满足

e

5

＜k＜

e

3

，
故k的取值范围是（

e

5

，

e

3

），
故答案为：（

e

5

，

e

3

）

点评：本题主要考查函数零点个数的应用，利用函数的周期性和单调性之间的关系，将方程转化为两个函数，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强．