Question

已知双曲线的中心在原点，两个焦点F₁，F₂分别为（

5

，0）和（-

5

，0），点P在双曲线上且PF₁⊥PF₂，且△PF₁F₂的面积为1，则双曲线的方程为（　　）

• A、

  x2

  2

  -

  y2

  3

  =1
• B、

  x2

  3

  -

  y2

  2

  =1
• C、

  x2

  4

  -y²=1
• D、x²-

  y2

  4

  =1

Answer 1

考点：双曲线的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用△PF₁F₂的面积为1，PF₁⊥PF₂，可得|PF₁|•|PF₂|=2，利用勾股定理，结合双曲线的定义，即可求双曲线的方程．

解答： 解：由题意，c=

5

，
因为△PF₁F₂的面积为1，PF₁⊥PF₂，
所以|PF₁|•|PF₂|=2，
又|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=4c²=20，
从而（|PF₁|-|PF₂|）²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|=20-4=16，即4a²=16，a=2，
所以b²=c²-a²=5-4=1，
所以双曲线的方程为

x2

4

-y²=1，
故选：C．

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题．