Question

已知正项等比数列{a_n}满足：a₂₀₁₃=a₂₀₁₂+2a₂₀₁₁，且

an•am

=4a1，则6（

1

m

+

1

n

）的最小值为（　　）

• A、4
• B、2
• C、

  2

  3

• D、6

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知可解得数列的公比q，进而可得n+m=6，代入要求的式子由基本不等式可得．

解答： 解：设正项等比数列{a_n}的公比为q，q＞0
∵a₂₀₁₃=a₂₀₁₂+2a₂₀₁₁，
∴a₂₀₁₁q²=a₂₀₁₁q+2a₂₀₁₁，
同除以a₂₀₁₁可得q²-q-2=0，
解得q=2，或q=-1（舍去），
又∵

an•am

=4a1，
∴a_n•a_m=a12qn+m-2=a122n+m-2=16a12，
∴2^n+m-2=16=2⁴，
∴n+m-2=4，
变形可得n+m=6，
∴6（

1

m

+

1

n

）=（m+n）（

1

m

+

1

n

）=2+

n

m

+

m

n

≥2+2

n m • m n

=4，
当且仅当

n

m

=

m

n

，即m=n=3时取等号，
故选：A

点评：本题考查等比数列的性质，涉及基本不等式的应用，属中档题．