Question

已知函数f（x）=x+

1

x

．
（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（Ⅱ）用定义证明f（x）在（0，1）上是减函数；
（Ⅲ）函数f（x）在[-1，0）上是否有最大值和最小值？如果有最大值或最小值，请求出最值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（I）用函数奇偶性定义证明，要注意定义域．（II）先任取两个变量，且界定大小，再作差变形看符号，（III）由函数图象判断即可．

解答： 解：（Ⅰ）证明：（I）函数为奇函数f（-x）=-x-

1

x

=-f（x），
（II）设x₁，x₂∈（0，1）且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=x₂+

1

x2

-x₁-

1

x1

=

(x2-x1)(x1x2-1)

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂＜1，∴x₁x₂＜1，x₁x₂-1＜0，
∵x₂＞x₁∴x₂-x₁＞0．
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，f（x₂）＜f（x₁），
因此函数f（x）在（0，1）上是减函数，
（III）由（Ⅰ）（Ⅱ）得：
f（x）在[-1，0）上是减函数，
∴f（x）_max=f（-1）=-2，无最小值．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性定义，要注意奇偶性要先判断，单调性变形要到位．