Question

13．已知公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₄=a₅+13，且a₁，a₄，a₁₃恰为等比数列{b_n}的前三项．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n，对任意n∈N⁺，$（{T_n}+\frac{3}{2}）k≥3n-9$恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由S₄=a₅+13，且a₁，a₄，a₁₃恰为等比数列{b_n}的前三项可得关于a₁，d的方程，解出a₁，d，利用等差数列等比数列的通项公式可得结果，
（2）根据等比数列的前n项和公式，求出T_n，对任意n∈N⁺，$（{T_n}+\frac{3}{2}）k≥3n-9$恒成立等价于k≥$\frac{2n-6}{{3}^{n}}$恒成立，设f（n）=$\frac{2n-6}{{3}^{n}}$，利用导数判断数列为增数列，再用极限的定义求出答案即可．

解答 解：（1）设{a_n}的公差为d，
∵S₄=a₅+13，
∴4a₁+6d=a₁+4d+13，
即3a₁+2d=13，
∵a₁，a₄，a₁₃恰为等比数列{b_n}的前三项．
∴（a₁+3d）²=a₁（a₁+12d），
解得a₁=3，d=2，
∴{a_n}的通项公式为a_n=3+（n-1）•2=2n+1，
∴b₂=a₄=a₁+3d=3+3×2=9，b₁=a₁=3，
∴q=3，
∴b_n=3ⁿ，
（2）数列{b_n}的前n项和为T_n=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$=$\frac{1}{2}$•3ⁿ⁺¹-$\frac{3}{2}$，
∵对任意n∈N⁺，$（{T_n}+\frac{3}{2}）k≥3n-9$恒成立，
∴$\frac{1}{2}$•3ⁿ⁺¹k≥3n-9恒成立，
∴k≥$\frac{2n-6}{{3}^{n}}$恒成立，
设f（n）=$\frac{2n-6}{{3}^{n}}$，
∴f′（n）=$\frac{2-ln3}{{3}^{n}}$=$\frac{ln{e}^{2}-ln3}{{3}^{n}}$＞0恒成立，
∴数列f（n）=$\frac{2n-6}{{3}^{n}}$为递增数列，
∴$\underset{lim}{n→∞}$=$\frac{2n-6}{{3}^{n}}$=0，
∴k≥0
故k的取值范围为[0，+∞）

点评 本题考查等差数列等比的通项公式、求和公式，以及数列和函数特征，以及不等式恒成立的问题，属于中档题