Question

8．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为钝角，且b=atanB．
（1）证明：$A-B=\frac{π}{2}$；
（2）求sinB+2sinC的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理、商的关系化简已知的式子，由条件和诱导公式求出A-B的值；
（2）由（1）求出B的范围，由诱导公式和二倍角的余弦公式变形化简，利用二次函数的性质求出取值范围．

解答 解：（1）证明：△ABC中，由b=atanB，
得sinB=sinA×$\frac{sinB}{cosB}$，
则cosB=sinA；
又A为钝角，∴A=$\frac{π}{2}$+B，
∴A-B=$\frac{π}{2}$；
（2）由（1）知C=π-（A+B）=π-（$\frac{π}{2}$+B+B）=$\frac{π}{2}$-2B＞0，
∴B∈（0，$\frac{π}{4}$），
∴sinB+2sinC=sinB+2sin（$\frac{π}{2}$-2B）
=sinB+2cos2B=sinB+2（1-2sin²B）
=-4（sinB-$\frac{1}{8}$）²+$\frac{33}{16}$；
又B∈（0，$\frac{π}{4}$），
∴0＜sinB＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴由二次函数的性质可知，
$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜-4（sinB-$\frac{1}{8}$）²+$\frac{33}{16}$≤$\frac{33}{16}$，
∴sinB+2sinC的取值范围是（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{33}{16}$]．

点评 本题考查了三角函数中恒等变换的应用以及正弦定理和二次函数的性质，熟练掌握公式和定理是解题的关键．