Question

（满分14分）如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

（Ⅰ）求证：平面BCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点E到平面ACD的距离．

Answer 1

⑴证明：见解析； (2)． (3)．

（1）因为AB=AD，O为BD的中点，所以下面再根据勾股定理证即可.
(II)先找出异面直线所成的角是解本小题的关键.取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知，∴　直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.然后再把角放在三角形OEM中求解即可.
(III)本小题求点到平面的距离可以利用体积法求解.设点E到平面ACD的距离为
然后根据求解.

⑴证明：连结OC   … 1分
，． ……… 2分
在中，由已知可得 … 3分
而，  …  4分
即  ………  5分
  ∴平面． ………  6分
方法一：⑵解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知，
∴　直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角，…… 8分
在中， 
是直角斜边AC上的中线，∴ ……………9分  
∴ ………… 10分
∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为． …………………………  11分
⑶．解：设点E到平面ACD的距离为．，  …12分
在中，,,而，．
∴，  ∴点E到平面ACD的距离为…14分
方法二：(2)解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则

， ……   9分
∴ 异面直线AB与CD所成角的余弦值为．……   10分
(3)解：设平面ACD的法向量为则
，∴，
令得是平面ACD的一个法向量．又   
∴点E到平面ACD的距离 ．…14分