Question

本小题满分14分）
如图，在直三棱柱中，，，，点、分别是、的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）证明：平面平面；
（Ⅲ）求多面体A₁B₁C₁BD的体积V.

Answer 1

（Ⅰ）证明：见解析（Ⅱ）证明：见解析；
（Ⅲ）V=。

试题分析：(I)根据线面平行的判定定理只需证明：AE//平面BC₁D即可.
(II)因为,所以,然后再利用勾股定理证明,
从而可证明：,再根据面面垂直的判定定理得平面平面.
(III) 取A₁B₁中点F，易证：C₁F⊥面A₁B₁BD,从而得到所求四棱锥的高，然后再根据棱锥的体积计算公式计算即可.
（Ⅰ）证明：在矩形中，
由
得是平行四边形.…………………1分
所以，    …………………2分

又平面，平面，
所以平面…………………4分
（Ⅱ）证明：直三棱柱中，，，，所以平面，…………………6分
而平面，所以.…………………7分
在矩形中，，从而，
所以，                …………………8分
又，所以平面，                  …………………9分
而平面，所以平面平面 …………………10分
（Ⅲ）取A₁B₁中点F，由A₁C₁=B₁C₁知C₁F⊥A₁B₁，……………11分
又直三棱柱中侧面ABA₁B₁⊥底面A₁B₁C₁且交线为A₁B₁，故C₁F⊥面A₁B₁BD，……12分
∴V=…………………14分
点评：掌握线线、线面，面面垂直的判定与性质定理是解决此类证明的关键，并且还要记住柱，锥，台体的体积及表面积公式.