Question

已知函数f（x）=（

1

2

m²-m）x²+m+1．
（1）若函数y=lgf（x）的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）设命题p：?x∈[

1

2

，2]，f（x）≥3．若命题p为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意可得(

1

2

m2-m)x2+m+1＞0的解集为R．若

1

2

m2-m=0，即m=0或m=2，均符合题意；若

1

2

m2-m≠0，则

1 2 m2-m＞0 m+1＞0

解不等式，综合可得；（2）问题等价于(

1

2

m2-m)x2+m-2≥0在x∈[

1

2

，2]上恒成立．设h(x)=(

1

2

m2-m)x2+m-2，分

1

2

m2-m=0，

1

2

m2-m＞0，

1

2

m2-m＜0，可得m的范围，取其补集即可．

解答： 解：（1）由函数y=lgf（x）的定义域为R可知(

1

2

m2-m)x2+m+1＞0的解集为R．
若

1

2

m2-m=0，即m=0或m=2，均符合题意；
若

1

2

m2-m≠0，则

1 2 m2-m＞0 m+1＞0

，解得-1＜m＜0或m＞2．
综上，实数m的取值范围是（-1，0]∪[2，+∞）；
（2）若命题p为真命题，则(

1

2

m2-m)x2+m-2≥0在x∈[

1

2

，2]上恒成立．
设h(x)=(

1

2

m2-m)x2+m-2，
若

1

2

m2-m=0，即m=0或m=2，代入知m=2符合；
若

1

2

m2-m＞0，则h(

1

2

)≥0，即

1

4

×(

1

2

m2-m)+m-2≥0，解得m≤-8或m＞2；
若

1

2

m2-m＜0，则h（2）≥0，即4(

1

2

m2-m)+m-2≥0，无解．
综上，若命题p为真命题，实数m的取值范围是m≤-8或m≥2，
∴当命题p为假命题时，实数m的取值范围是（-8，2）．

点评：本题考查二次函数的性质，涉及分类讨论和函数的值域，属基础题．