Question

如图，四边形ABCD为矩形，∠AEB=

π

2

，BC⊥平面ABE，BF⊥CE，垂足为F．
（1）求证：BF⊥平面AEC，
（2）若AB=2BC=2BE=2，求ED与平面AEC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过点A垂直于平面ABE的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BF⊥平面AEC．
（2）求出平面AEC的法向量和

ED

=（-

3

2

，-

3

2

，1），由此能求出直线ED与平面AEC所成角的正弦值．

解答： （1）证明：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过点A垂直于平面ABE的直线为z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），
D（0，0，1），E（

3

2

，

3

2

，0），F（

3

4

，

7

4

，

1

2

），
∴

BF

=（

3

4

，-

1

4

，

1

2

），

AC

=（0，2，1），

AE

=（

3

2

，

3

2

，0），
∴

BF

•

AC

=0，

BF

•

AE

=0，
∴BF⊥AC，BF⊥AE，
∵AC∩AE=A，∴BF⊥平面AEC．
（2）解：∵AB=2BC=2BE=2，
∴平面AEC的法向量

BE

=(

3

4

，-

1

4

，

1

2

)，

ED

=（-

3

2

，-

3

2

，1），
设ED与平面AEC所成角为α，
sinα=|cos＜

ED

，

BE

＞|
=|

- 3 8 + 3 8 + 1 2

1 2 ×2

|=

2

4

．
∴ED与平面AEC所成角的正弦值为

2

4

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．