Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹．
（1）证明数列{

an

2n

}是等差数列；
（2）若不等式2n²-n-3＜（5-λ）a_n对n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,函数恒成立问题,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知推导出a₁=4，an=2an-1+2n，由此能证明{

an

2n

}是以2为首项，1为公差的等差数列．
（2）由

an

2n

=n+1，得a_n=（n+1）•2ⁿ，2n²-n-3＜（5-λ）a_n等价于5-λ＞

2n-3

2n

，记bn=

2n-3

2n

，由此能求出λ的取值范围．

解答： （1）证明：当n=1时，S1=2a1-22，解得a₁=4，
Sn=2an-2n+1，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an-2an-1-2n，
∴an=2an-1+2n，
∴

an

2n

-

an-1

2n-1

=

2an-1+2n

2n

-

an-1

2n-1

=

an-1

2n-1

+1-

an-1

2n-1

=1，
又

a1

21

=2，
∴{

an

2n

}是以2为首项，1为公差的等差数列．
（2）解：由（1）知

an

2n

=n+1，即a_n=（n+1）•2ⁿ，
∵a_n＞0，∴2n²-n-3＜（5-λ）a_n等价于5-λ＞

2n-3

2n

，
记bn=

2n-3

2n

，n≥2时，

bn+1

bn

=

2n-1 2n+1

2n-3 2n

=

2n-1

4n-6

，
∴n≥3时，

bn+1

bn

＜1，（b_n）_max=b₃=

3

8

，
∴5-λ＞

3

8

，λ＜5-

3

8

=

37

8

．

点评：本题考查等差数列的证明，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．