Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，A₁B⊥平面ABC，且AB=AC=A₁B=2．
（Ⅰ）若P为棱B₁C₁的中点，求出二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值．
（Ⅱ）证明：平面ABC与平面ACC₁A₁一定不垂直．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）以A为原点，AC、AB所在直线分别为x轴和y轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值．
（Ⅱ）求出平面ACC₁A₁的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能证明平面ABC与平面ACC₁A₁一定不垂直．

解答： 解：（Ⅰ）解：如图，以A为原点，AC、AB所在直线分别为x轴和y轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），C（2，0，0），B（0，2，0），
A₁（0，2，2），B₁（0，4，2），P（1，1，2），

AB

=（0，2，0），

AP

=（1，1，2），
设平面ABP的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • AB =2y=0 n • AP =x+y+2z=0

，取x=2，得

n

=（2，0，-1），
又平面ABA₁的法向量

m

=（1，0，0），
cos＜

m

，

n

＞=

2

5

=

2 5

5

．
∴二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值为

2 5

5

．
（Ⅱ）证明：

AC

=（2，0，0），

AA1

=（0，2，2），
设平面ACC₁A₁的法向量

p

=（a，b，c），
则

p • AC =2a=0 p • AA1 =2b+2c=0

，取b=1，得

p

=（0，1，-1），
又平面ABC的法向量

q

=（0，0，1），
∵

p

•

q

=-1，∴平面ABC与平面ACC₁A₁一定不垂直．

点评：本题考查二面角的余弦值的求法，考查两平面不垂直的证明，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．