Question

4．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+1}{x}$，其中x∈[1，+∞）．
（1）判断f（x）的单调性并证明；
（2）求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）可判断f（x）在[1，+∞）上是增函数，利用导数证明即可．
（2）由f（x）在[1，+∞）上是增函数知在x=1处有最小值．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$+2，
故f（x）在[1，+∞）上是增函数，证明如下，
∵f（x）=x+$\frac{1}{x}$+2，
∴f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$≥0，
故f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（2）∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴f_min（x）=f（1）=1=1+2=4．

点评 本题考查了函数的单调性的判断与应用，同时考查了导数的应用．