Question

设椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），抛物线C：y²=-4a²x的准线与x轴的交点为A，且

AF

₁=2

AF2

．
（Ⅰ）求P的值及椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）过F₁、F₂分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点（如图），求四边形DMEN面积的最大值和最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）由椭圆的焦点可得c=1．由抛物线C：y²=-4a²x的准线方程为x=a²，可得点A（a²，0）．由于

AF

₁=2

AF2

．可得F₂为AF₁的中点．利用a²=3，b²=a²-c²=2，即可得出．
（II）①当直线DE与x轴垂直时，|DE|=

2b2

a

=

4

3

，此时|MN|=2a=2

3

，可得四边形DMEN的面积S=

1

2

|DE|•|MN|；同理当MN与x轴垂直时，也有四边形DMEN的面积S=4．
②当直线DE、NM均与x轴不垂直时，设直线DE：y=k（x+1），D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0．利用根与系数的关系及其弦长公式|DE|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

4 3 (1+k2)

2+3k2

；同理可得|MN|=

4 3 (1+k2)

3+2k2

．四边形的面积S=

1

2

|DE|•|MN|=

24(k2+ 1 k2 +2)

6(k2+ 1 k2 )+13

．
令u=k2+

1

k2

≥2，当且仅当k=±1时取等号．S=

24(u+2)

6u+13

，利用函数的单调性即可得出．

解答： 解：（I）由椭圆的焦点可得c=1．
抛物线C：y²=-4a²x的准线方程为x=a²，
∴点A（a²，0）．
∵

AF

₁=2

AF2

．∴F₂为AF₁的中点．
∴a²=3，b²=a²-c²=2，
即椭圆C₁的方程为

x2

3

+

y2

2

=1．
（II）①当直线DE与x轴垂直时，|DE|=

2b2

a

=

4

3

，此时|MN|=2a=2

3

，
四边形DMEN的面积S=

1

2

|DE|•|MN|=4；
同理当MN与x轴垂直时，也有四边形DMEN的面积S=4．
②当直线DE、NM均与x轴不垂直时，设直线DE：y=k（x+1），D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）．
联立

y=k(x+1) x2 3 + y2 2 =1

化为（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0．
∴x1+x2=

-6k2

2+3k2

，x₁x₂=

3k2-6

2+3k2

．
∴|DE|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

4 3 (1+k2)

2+3k2

；
同理可得|MN|=

4 3 (1+k2)

3+2k2

．
∴四边形的面积S=

1

2

|DE|•|MN|=

24(k2+ 1 k2 +2)

6(k2+ 1 k2 )+13

．
令u=k2+

1

k2

≥2，当且仅当k=±1时取等号．
S=

24(u+2)

6u+13

=4(1-

1

6u+13

)．
∴当u=2，S=

96

25

，
且S是以u为自变量的增函数，∴

96

25

≤S＜4．
综上可知，

96

25

≤S≤4．
因此四边形DMEN面积的最大值为4，最小值为

96

25

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、四边形的面积计算公式、基本不等式的性质、换元法、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．