Question

14．已知直线l₁：$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C₁：ρ²-2$\sqrt{3}$ρcosθ-4ρsinθ+6=0．
（1）求圆C₁的直角坐标方程，直线l₁的极坐标方程；
（2）设l₁与C₁的交点为M，N，求△C₁MN的面积．

Answer 1

分析 （1）$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$，将其代入C₁得圆C₁的直角坐标方程．由直线l₁：$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}$（t为参数），消去参数可得y=$\sqrt{3}$x，可即可化为极坐标方程．
（2）把$θ=\frac{π}{3}$代入可得${ρ^2}-3\sqrt{3}ρ+6=0$⇒$|{{ρ_1}-{ρ_2}}|=\sqrt{3}$，进而得出面积．

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$，将其代入C₁得：${x^2}+{y^2}-2\sqrt{3}x-4y+6=0$，
∴圆C₁的直角坐标方程为：${C_1}：{（x-\sqrt{3}）^2}+{（y-2）^2}=1$．
由直线l₁：$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}$（t为参数），消去参数可得：y=$\sqrt{3}$x，可得$tanθ=\sqrt{3}⇒θ=\frac{π}{3}$（ρ∈R）．
∴直线l₁的极坐标方程为：$θ=\frac{π}{3}$（ρ∈R）．
（2）$\left\{\begin{array}{l}θ=\frac{π}{3}\\{ρ^2}-2\sqrt{3}ρcosθ-4ρsinθ+6=0\end{array}\right.$，可得${ρ^2}-3\sqrt{3}ρ+6=0$⇒$|{{ρ_1}-{ρ_2}}|=\sqrt{3}$，
∴${S_{△{C_1}MN}}=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．