题目内容
9．已知函数f（x）=xex-mx+m，若f（x）＜0的解集为（a，b），其中b＜0；不等式在（a，b）中有且只有一个整数解，则实数m的取值范围是（ ）| A． | $（\frac{2}{{3{e^2}}}，\frac{1}{2e}）$ | B． | $（\frac{2}{{3{e^2}}}，\frac{1}{e}）$ | C． | $[\frac{2}{{3{e^2}}}，\frac{1}{2e}）$ | D． | $[\frac{2}{{3{e^2}}}，\frac{1}{e}）$ |
分析 设g（x）=xex，y=ax-a，求出g（x）的最小值，结合函数的图象求出m的范围即可．
解答 解：设g（x）=xex，y=mx-m，
由题设原不等式有唯一整数解，
即g（x）=xex在直线y=mx-m下方，
g′（x）=（x+1）ex，
g（x）在（-∞，-1）递减，在（-1，+∞）递增，
故g（x）min=g（-1）=-$\frac{1}{e}$，y=mx-m恒过定点P（1，0），
结合函数图象得KPA≤m＜KPB，
即$\frac{2}{3{e}^{2}}$≤m＜$\frac{1}{2e}$，
，
故选：C．
点评 本题考查了求函数的最值问题，考查数形结合思想，是一道中档题．
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