Question

4．已知函数f（x）=x+$\frac{9}{x}$．
（Ⅰ）指出f（x）的定义域，并判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判断并证明f（x）在区间[3，+∞）上的单调性，并求f（x）在[3，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据分母不能为0，可得函数的定义域，进而根据函数奇偶性的定义，可得函数为偶函数．
（Ⅱ）证法一：设x₁，x₂是区间[3，+∞）上的两个任意实数，且x₁＜x₂，作差判断f（x₁），f（x₂）的大小，可得结论
证法二：求导，根据x∈[3，+∞）时，f′（x）≥0恒成立，可得：函数f（x）在[3，+∞）上为单调递增函数；

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=x+$\frac{9}{x}$的定义域为{x|x≠0}关于原点对称，
∵f（-x）=-x-$\frac{9}{x}$=-（x+$\frac{9}{x}$）=-f（x）．
∴函数f（x）是奇函数；
（Ⅱ）f（x）在区间[3，+∞）上单调递增，理由如下：
证法一：设x₁，x₂是区间[3，+∞）上的两个任意实数，且x₁＜x₂，…（2分）
于是f（x₁）-f（x₂）=（${x}_{1}+\frac{9}{{x}_{1}}$）-（${x}_{2}+\frac{9}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）$\frac{{x}_{1}•{x}_{2}-9}{{x}_{1}•{x}_{2}}$…（4分）
因为x₂＞x₁≥3，所以x₁x₂-9≥0，x₁-x₂＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，所以f（x₁）＜f（x₂），…（6分）
所以函数f（x）在[3，+∞）上为单调增函数．…（7分）
证法二：∵f（x）=x+$\frac{9}{x}$．
∴f′（x）=1-$\frac{9}{{x}^{2}}$．
当x∈[3，+∞）时，
f′（x）≥0恒成立，
故函数f（x）在[3，+∞）上为单调递增函数；

点评 本题考查的知识点是抽象函数的应用，函数的单调性和函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．