Question

5．平面直角坐标系中，以原点O为圆心，r（r＞0）为半径的定圆C₁，与过原点且斜率为k（k≠0）的动直线交于P、Q两点，在x轴正半轴上有一个定点R（m，0），P、Q、R三点构成三角形，求：
（1）△PQR的面积S₁的表达式，并求出S₁的取值范围；
（2）△PQR的外接圆C₂的面积S₂的表达式，并求出S₂的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意，tanα=k，sinα=$\frac{|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，即可求出△PQR的面积S₁的表达式，并求出S₁的取值范围；
（2）求出△PQR的外接圆C₂的圆心坐标，可得△PQR的外接圆C₂的半径的平方，即可得到△PQR的外接圆C₂的面积S₂的表达式，并求出S₂的取值范围．

解答 解：（1）由题意，tanα=k，sinα=$\frac{|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴△PQR的面积S₁=2×$\frac{1}{2}$×$\frac{|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$rm=$\frac{|k|mr}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴0＜S₁＜mr；
（2）PQ的垂直平分线方程为y=-$\frac{1}{k}$x，OR的垂直平分线方程为x=$\frac{m}{2}$，
联立可得△PQR的外接圆C₂的圆心坐标为（$\frac{m}{2}$，-$\frac{m}{2k}$），
∴△PQR的外接圆C₂的半径的平方=$\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{m}^{2}}{4{k}^{2}}$，
∴S₂=π•（$\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{m}^{2}}{4{k}^{2}}$）=$\frac{{m}^{2}π}{4}$（1+$\frac{1}{{k}^{2}}$）＞$\frac{{m}^{2}π}{4}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查面积的计算，属于中档题．