Question

已知函数f₁（x）=

2x-1

x+1

，对于n∈N^*，定义f_n+1（x）=f₁（f_n（x）），求f_n（x）的解析式．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：根据定义式定义f_n+1（x）=f₁（f_n（x）），f₁（x），f₂（x），f₃（x），f₄（x），f₅（x），f₆（x），从f₁（x）到f₆（x）每6个一循环．

解答： 解：∵函数f₁（x）=

2x-1

x+1

∴f₂（x）=f₁（2-

3

x+1

）=1-

1

x

，

∴f₃（x）=f₁（f₂（x））=

2 x-1 x -1

x-1 x +1

=

x-2

2x-1

，
∴f₄（x）=f₁（f₃（x））=

2 x-2 2x-1

x-2 2x-1 +1

=

-1

x-1

，
∴f₅（x）=f₁（f₄（x））=

-x-1

x-2

，
∴f₆（x）=f₁（f₅（x））=x，
∴f₇（x）=

2x-1

x+1

=f₁（x），
∴从f₁（x）到f₆（x）每6个一循环，
∴

n

6

余数为1，f_n（x）=

2x-1

x+1

，

n

6

余数为2，f_n（x）=f₂（x）=1-

1

x

，

n

6

余数为3，f_n（x）=f₃（x）=

x-2

2x-1

，

n

6

余数为4，f_n（x）=f₄（x）=

-1

x-1

，

n

6

余数为5，f_n（x）=f₅（x）=

-x-1

x-2

，

n

6

余数为6，f_n（x）=f₆（x）=x

点评：本题考查了函数的性质，定义，运用化简式子求解即可，难度不大，属于容易题．