Question

7．如图所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是正三角形，侧棱BB₁⊥面ABC，D是棱BC的中点，点M在棱BB₁上，且CM⊥AC₁．
（1）求证：A₁B∥平面AC₁D；
（2）求证：CM⊥C₁D．

Answer 1

分析 （1）连结A₁C，交AC₁于N，连结DN，由中位线定理可得DN∥A₁B，故而A₁B∥平面AC₁D；
（2）先证明AD⊥平面BCC₁B₁，得出AD⊥CM，结合AC₁⊥CM得出CM⊥平面ADC₁，于是CM⊥C₁D．

解答 证明：（1）连结A₁C，交AC₁于N，连结DN，
∵四边形ACC₁A₁是平行四边形，
∴N是A₁C的中点，又D是BC的中点，
∴DN∥A₁B，
又A₁B?平面ADC₁，DN?平面ADC₁，
∴A₁B∥平面AC₁D．
（2）∵BB₁⊥面ABC，AD?平面ABC，
∴BB₁⊥AD，
∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，又BB₁∩BC=B，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，又C₁M?平面BCC₁B₁，
∴AD⊥CM，又CM⊥AC₁，AC₁∩AD=A，
∴CM⊥平面ADC₁，又AC₁?平面BCC₁B₁，
∴CM⊥C₁D．

点评 本题考查了线面平行，线面垂直的判定定理，属于中档题．